L'ellipse comme courbe de l'angle central secondaire inférieur

Source de l'image: Ellipse construction / GFDL-CC-BY-SA 26 novembre 2007  Iavs leroy .- Wikipédia

Posant que le rayon du grand cercle est 1, on voit sur cette figure que le sinus de l'angle de rayon OM₂ est multiplié par une fraction constante, de grandeur rayon OM₁, pour obtenir le sinus de hauteur M.
Puisque dans la sphère l'ellipse est la projection d'un grand cercle, OM₁ est le cosinus du plan de ce grand cercle, considérant qu'il tourne à partir du haut, et OM est la projection de l'angle de rotation sur ce plan penché, qui tourne de droite à gauche.  Le cosinus de l'angle de rotation sur le plan penché étant le même que celui de l'angle en rouge, OM₂, ce dernier est donc cet angle de rotation lui-même sur le plan penché. Au point M, l'angle du plan est donc au rang du sinus de l'angle de rotation, et le sinus de hauteur M est le résultat du produit du sinus de l'angle OM₂ par le rayon du petit cercle.
Dans ma géométrie, l'angle en rouge, de rayon OM₂, est le grand angle, et le sinus de hauteur M est celui du petit. Avec ces deux angles, je fais une mécanique circulaire et hyperbolique propre à chacun, en sinus et cosinus. Dans cette configuration, celle de la figure, le grand angle est l'angle de base, car son point est sur le grand cercle, de rayon 1, il le trace, et il a un point sur son sinus qui trace une courbe. Le sinus du grand angle est donc multiplié par une fraction pour avoir ce nouveau sinus, plus petit.
J'appelle cette fraction 1/V, V étant un ordre supérieur à 1, un multiplicateur de sinus de base, lequel peut être une fonction ou un nombre. V est utilisé à partir d'un petit angle, alors que 1/V l'est à partir du grand. Ils ne peuvent pas être utilisé indifféremment, car les angles et les courbes impliqués ne sont pas pareils. C'est pourquoi, ici, de par la configuration de la figure, je dis que c'est un système en 1/V.

Posons les angles et trigos en cause:

Gonio

t - est le grand angle; c'est l'angle central principal (supérieur).

hc_V - est l'angle de rayon OM, qui trace l'ellipse; ça signifie "hyperbolique du circulaire Vième". C'est l'angle central secondaire (inférieur). Ce n'est pas une multiplication, "h" est un mécanisme hyperbolique unitaire (1 sous-entendu) et c_V, qui n'est pas l'expression d'un logarithme, en passant, est l'angle circulaire mécanique algébrique du petit angle, p, à gauche de lequel il se situe, i.e. plus grand. Par cette action "h",  c_V devient un angle plus petit (mais toujours plus grand que p car V est plus grand que 1) , son sinus devient une tangente (abattement de l'hypothénuse sur l'axe horizontal en gardant le même poteau). Ne pas confondre "c", dans l'expression, avec les "C" majuscules sur la figure, lesquels désignent les cercles en cause.

p - est le petit angle, M est la hauteur de son sinus. Ne pas confondre avec "p" comme paramètre.

a - est l'angle asymptotique, dit simplement asymptote, dont la trigo est en radical 1/V, exclusivement. C'est l'angle de l'ordre (1/V) des courbes du système; relatif à la direction finale de ces dernières, comme son nom l'indique. Cette direction limite, propre à chaque couple en incluant l'angle complémentaire, est donnée à un mécanisme unitaire inhérent, ici le circulaire dans 180 degrés, ca2l, défini plus bas. Les courbes du systèmes étant situées de part et d'autre des angles centraux, l'asymptote ne s'applique donc pas à la direction terminale des courbes de ces derniers, comme ici l'ellipse et le cercle; c'est pourquoi l'angle asymptotique ne semble pas leur être associé, c'est normal. Le rayon du petit cercle inscrit dans l'ellipse est sa cotangente (1/radical V), nécessairement fixe. L'angle asymptotique est croissant de 45 degrés, sa cotangente est donc décroissante de 1. Ne pas confondre avec "a" comme rayon du grand cercle.

ca2l - est le circulaire de l'asymptote ("a") dans 180 degrés: "l" signifie 90 degrés (suivant L majuscule qui fait un 90 degrés), "2l" multiplie 90 degrés par 2, donc l'expression signifie 180 degrés. Quand un angle est croissant de 45 degrés, son circulaire, qui transforme sa cotangente en cosinus, se lit au 2e quadrant, à partir du 1er. Celà découle du fait que le circulaire d'un angle croissant de 0 degré transforme la cotangente de ce dernier en cosécante dans le même quadrant. Mais rendu à 45 degrés, cependant, une cotangente égale 1 et donc la cosécante résultante aussi par l'action circulaire, ce qui met le circulaire à 90 degrés. Quand l'angle de départ est plus grand que 45 degrés, sa cotangente, plus petite que 1, se transforme en cosinus par l'action circulaire dans 180 degrés, car une cosécante devient un cosinus dès qu'elle atteint 1 et moins, et cet angle circulaire se lit au quadrant suivant car la limite de 90 degrés a été atteinte précédemment - c'est pourquoi on dit "dans 180 degrés", pour que le circulaire puisse passer de 90 degrés à plus que celà, plutôt que de redescendre (il faut que ça tourne). Ne pas confondre "c", dans l'expression, avec les "C" majuscules sur la figure, lesquels désignent les cercles en cause.

Trigo

s - est le sin de t, ce dernier étant sous-entendu (car c'est lui qui mène), et "sin" est réduit à "s" pour simplifier la trigonométrie du système.

(1/V)^1/2 - est le le cosinus du circulaire de l'asymptote dans 180 degrés (ca2l), i.e. cos ca2l. C'est le rayon du petit cercle sur la figure, OM₁, donc fixe (une fraction numérique). Lorsqu'au carré, je dis que c'est l'ordre du circulaire et de l'hyperbolique de l'angle central supérieur, de part et d'autre ( le 1er plus grand et le second plus petit), et l'ordre du système en même temps, ici, car la mécanique (hyperbolique-circulaire algébrique) de l'angle central inférieur, qui se fait en "V", y est soumise (ajustée en fonction).

(1/V)^1/2s - est le sin de p (sin p), soit le cos du circulaire de l'asymptote dans 180 degrés (cos ca2l) multiplié par le sin de t (sin t, dit simplement "s").

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C'est tout ce que nous avons besoin pour tracer l'ellipse, car c'est la courbe de l'angle central secondaire, hc_V. Pas besoin de faire les hyperboliques et circulaires de part et d'autre des deux angles centraux, mais l'important à savoir, c'est que l'angle central secondaire inférieur d'angles hyperbolique et circulaire, respectivement, d'ordre 1/V fixe, en trigo sinus et cosinus, trace une ellipse (quand l'angle central principal trace le cercle de rayon 1, sous-entendu).
Cette algèbre trigonométrique vaut pour le premier quadrant de l'ellipse.

Procédure

- Choisir la valeur de radical 1/V, un cosinus fixe comme 8/9, ce qui donne un ordre de 64/81 au système.
- L'algèbre est valable pour le 1er quadrant de l'ellipse seulement.
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Dans ma géométrie, la Mécanique hyperbolique algébrique, une courbe court sur 3 quadrants pour compléter son algèbre. Aux autres quadrants, les trigos se modifient avec les évolutions goniométriques correspondantes. Les 2e et 3e quadrants de l'ellipse, comme sur la figure, ne sont que des symétries du 1er. Dans ma géométrie, c'est différent, les courbes des quadrants suivants ne suivent pas des directions symétriques au 1er. Celà s'applique aussi aux courbes des angles centraux.
L'algèbre diffère un peu pour compléter l'ellipse aux autres quadrants, ce qui pourra faire l'objet d'autres articles.